C?LCULO DIFERENCIAL EM R

1.8.2 Máximo Divisor Comum.

Definição 1.12.

Sejam os números a, b;d .

Z, se o número d divide a a e, d é chamado divisor comum de a e b.

Propriedade 1.15.

Dados os números inteiros a e b, existe um divisor comum da forma d = ax + by para algum x, y .

Z; e, todo divisor comum de a e b divide este d.

Propriedade 1.16.

Dados a, b .

Z, existe um e somente um d .

Z com as seguintes propriedades:

a) d = 0 ¢¢· (d não é negativo)

b) d | a e d | b ¢¢· (d é um divisor comum de a e b)

c) Se c | a e c | b .

c | d ¢¢· (cada divisor comum divide d)

Demonstração.

Pela Propriedade (1.15) existe pelo menos um d que satisfaz as condições (b) e (c), logo ¡d também satisfaz.

Porém, se d.

satisfaz (b) e (c) então d | d.

e d.

| d, portanto | d j=| d.

j.

Logo existe somente um d = 0 que satisfaz (b) e (c).

Definição 1.13.

O número d da Propriedade (1.16) é chamado de máximo divisor comum (m.d.c.) de a e b e denota-se m:d:c{ a, b g.

Propriedade 1.17.

Lema de Euclides.

Se a | bc e (a, b)=1 então a | c.

Demonstração.

Desde que (a, b)=1 podemos escrever 1= ax + by, conseqüentemente c = cax + cby, Como a | acx e b | bcy, logo a | c.